余弦定理・正弦定理の計算：三角形の辺の長さと角度（図つき）
三角形の3辺、2辺と間の角、1辺と2つの角、2辺と1つの角のどれかを入れると、余弦定理・正弦定理で残りの辺と角を出します。面積・外接円の半径、答えが2つになる場合も。入れた数どおりの図つき。
角 A（3辺 7・5・8）
60°
余弦定理 cos A ＝ (b2 ＋ c2 − a2) ÷ 2bc ＝ 0.5 より A ＝ 60°
辺 a ＝ 7・b ＝ 5・c ＝ 8cm
角 A ＝ 60°・B ≒ 38.21°・C ≒ 81.79°
面積 ≒ 17.3205cm2・外接円の半径 R ＝ a ÷ (2 sin A) ≒ 4.0415cm
三角形ABC：a=7, b=5, c=8, A=60°, B=38.21°, C=81.79°図（入れた数のとおりに描きます）
余弦定理と正弦定理
| 定理 | 式 | 使うとき |
|---|---|---|
| 余弦定理 | a2 ＝ b2 ＋ c2 − 2bc cos A cos A ＝ (b2 ＋ c2 − a2) ÷ 2bc | 2辺と間の角 → 残りの辺 3辺 → 角 |
| 正弦定理 | a ÷ sin A ＝ b ÷ sin B ＝ c ÷ sin C ＝ 2R | 1辺と2つの角 → 残りの辺 外接円の半径 R |
| 面積 | S ＝ 1/2 × b × c × sin A | 2辺と間の角 → 面積 |
辺 a は頂点 A の向かいの辺（BC）、辺 b は B の向かい（CA）、辺 c は C の向かい（AB）。
余弦定理・正弦定理の計算ガイド：使い方と「わかっているもの」の選び方
三角形の辺と角のうち3つがわかっているとき、残りの辺と角を出します。どの3つがわかっているかで使う定理が変わるので、最初に「わかっているもの」を正しく選びます。
こんなときに使えます
- 高校の数学Ⅰ「図形と計量」の問題で、答えを確かめたいとき
- 2つの地点の距離と角度から、離れた場所までの距離を出したいとき
- 答えが2つになる三角形の問題で、もう1つの答えを見落としていないか確かめたいとき
使い方
- 「わかっているもの」で、3辺・2辺と間の角・1辺と両端の角・2辺と1つの角のどれかを選びます。
- 「辺 a（BC）」〜「辺 c（AB）」と「角 A」〜「角 C」のうち、使える欄に数を入れます。
- 残りの辺と角、面積、外接円の半径を確かめます。答えが2つあるときは、両方が出ます。
計算の例
b ＝ 3、c ＝ 5、A ＝ 120° の三角形は、余弦定理で a ＝ 7（cm）。角 A ＝ 120°・B ≒ 21.79°・C ≒ 38.21° です。
a ＝ 10、B ＝ 45°、C ＝ 60° なら、A ＝ 75° で、正弦定理から b ≒ 7.3205、c ≒ 8.9658（cm）です。
気をつけたいこと
- 問題の三角形が PQR のように別の名前でも、角と向かいの辺の組み合わせがくずれないように A・B・C に置きかえて入れます。
- 角度は度（°）で入れます。2つの角を入れるときは、合わせて180°より小さくなるようにします。
よくある質問
余弦定理とは？
三角形 ABC で a2 ＝ b2 ＋ c2 − 2bc cos A が成り立つ、という定理です。A ＝ 90° なら cos A ＝ 0 で三平方の定理になります。2辺と間の角から残りの辺を、3辺から角を求めるときに使います。
正弦定理とは？
a ÷ sin A ＝ b ÷ sin B ＝ c ÷ sin C ＝ 2R（R は外接円の半径）。1辺と2つの角から残りの辺を求めるときや、外接円の半径を求めるときに使います。
答えが2つになるのはどんなときですか。
2辺と、その間ではない角がわかっているときです。sin B ＝ 0.77 となる角は 50° 付近と 130° 付近の2つあり、どちらでも三角形ができることがあります。この計算機は2つ目の三角形も表示します。
3辺から角度を出すには？
余弦定理を変形した cos A ＝ (b2 ＋ c2 − a2) ÷ 2bc で cos A を出し、そこから角度を求めます。辺が 7・5・8 なら cos A ＝ 1/2 で A ＝ 60° です。
何年生で習いますか。
高校の数学Ⅰ（図形と計量）です（文部科学省 学習指導要領解説）。
出典
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 余弦定理
a2 ＝ b2 ＋ c2 − 2bc cos A - 正弦定理
a ÷ sin A ＝ 2R - 答えが2つ
2辺と間でない角のとき - 習う学年
高校 数学Ⅰ