対数正規分布の計算：確率 P(X ≤ x)・確率密度・平均・パーセント点
ln x の平均 μ と標準偏差 σ、x を入れると、対数正規分布の確率を出します。X の平均・中央値（eμ）・分散も。確率からパーセント点も。Excel の LOGNORM.DIST と同じ値です。
対数正規分布：P(X ≤ 4)
0.03908
P(X ≤ 4) ＝ 0.03908（3.91%）・P(X ＞ 4) ＝ 0.96092
確率密度 f(4) ＝ 0.01762
平均 68.0335・分散 14,907.2・標準偏差 122.095・中央値 33.1155
Excel: =LOGNORM.DIST(4, 3.5, 1.2, TRUE) → 0.0390835557
ln X が正規分布 N(μ, σ2) F(x) ＝ Φ((ln x − μ) ÷ σ)
対数正規分布 P(X ≤ 4) ＝ 0.03908グラフ（確率密度と P(X ≤ x) の面積）
代表的なパーセント点
| 下側確率 | 上側確率 | x |
|---|---|---|
| 50% | 50% | 33.1155 |
| 90% | 10% | 154.14 |
| 95% | 5% | 238.37 |
| 97.5% | 2.5% | 347.915 |
| 99% | 1% | 540.026 |
※ 上で入れたパラメーターでの値。P(X ≤ x) がその確率になる x です。
対数正規分布の計算ガイド：使い方と μ・σ の準備
ln X（自然対数）が正規分布に従うデータの確率を、もとの単位のまま求める計算機です。入れる μ と σ は「X の」ではなく「ln X の」平均と標準偏差なので、そこだけ準備が要ります。
こんなときに使えます
- 対数変換して分析したデータについて、もとの単位で「ある値以下になる確率」を知りたいとき
- 右に長くすそを引くデータで、上側5%にあたる値などの目安を出したいとき
- Excel の LOGNORM.DIST・LOGNORM.INV の値を、式と図で確かめたいとき
使い方
- データの各値の自然対数（Excel なら LN 関数）をとり、その平均と標準偏差を出します。
- 「μ（ln x の平均）」と「σ（ln x の標準偏差）」に入れ、「x」にもとの単位の値を入れます。
- 上側の目安がほしいときは「確率から x」で、「確率（下側）」に0.95などを入れます。
計算の例
μ ＝ 2、σ ＝ 0.5 のとき、X が10以下になる確率は0.72747（約72.75%）です。中央値は e2 ≒ 7.38906、平均は8.3729です。
「確率から x」で0.95を入れると x ＝ 16.8176。上位5%に入るのは、中央値の約2.3倍を超える値だとわかります。
気をつけたいこと
- データの平均や標準偏差をそのまま μ・σ に入れると、まったく違う結果になります。必ず ln をとってから計算してください。
- 使うのは自然対数（ln、底が e）です。常用対数（log10）で出した値では合いません。
- x には0以下の値は入りません。対数正規分布は正の値だけをとる分布です。
よくある質問
対数正規分布とは？
ln X（X の自然対数）が正規分布に従うときの X の分布です。正の値だけをとり、右に長くすそを引きます。Excel のヘルプでは、対数変換したデータの分析に使うと説明されています。
μ と σ は X の平均と標準偏差？
いいえ。ln X の平均と標準偏差です。X の平均は eμ＋σ²/2、中央値は eμ で、平均のほうが大きくなります。
確率の求め方は？
P(X ≤ x) ＝ Φ((ln x − μ) ÷ σ)（Φ は標準正規分布の累積分布）。x ＝ 4、μ ＝ 3.5、σ ＝ 1.2 なら ≒ 0.0390836 です（Excel の LOGNORM.DIST の使用例と同じ）。
正規分布表で計算するには？
(ln x − μ) ÷ σ を z として、正規分布表で Φ(z) を読めば同じ値になります。
出典
- Microsoft サポート
- LOGNORM.DIST 関数（書式・使用例）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）
本ツールの確率やパーセント点は数値計算で求め、表示した桁で四捨五入しています。検定や論文に使うときは、統計ソフトや数表の値でもご確認ください。
要点
- P(X ≤ x)
Φ((ln x − μ)/σ) - 中央値
e^μ - 平均
e^(μ＋σ²/2) - Excel
LOGNORM.DIST