幾何分布・負の二項分布の計算：何回目に初めて成功するか・r回成功までの失敗数
1回の成功確率 p を入れると、k 回目に初めて成功する確率（幾何分布）や、r 回成功するまでに k 回失敗する確率（負の二項分布）を出します。k 回目までに成功する確率、平均・分散、分布の表も。Excel の NEGBINOM.DIST と同じ値です。
成功確率 0.2 で、3回目に初めて成功する確率
0.1280
P(X ＝ 3) ＝ (1 − p)2 × p ＝ 0.1280（12.80%）
3回目までに成功 P(X ≤ 3) ＝ 1 − (1 − p)3 ＝ 0.4880・3回目までに一度も成功しない P(X ＞ 3) ＝ 0.5120
平均 1/p ＝ 5回・分散 (1 − p)/p2 ＝ 20
Excel: =NEGBINOM.DIST(2, 1, 0.2, FALSE)（失敗が2回の後に成功）
幾何分布 p＝0.2：3回目に初めて成功 12.80%分布の表
| k | P(X ＝ k) | P(X ≤ k) | グラフ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.2000 | 0.2000 | |
| 2 | 0.1600 | 0.3600 | |
| 3 | 0.1280 | 0.4880 | |
| 4 | 0.1024 | 0.5904 | |
| 5 | 0.0819 | 0.6723 | |
| 6 | 0.0655 | 0.7379 | |
| 7 | 0.0524 | 0.7903 | |
| 8 | 0.0419 | 0.8322 | |
| 9 | 0.0336 | 0.8658 | |
| 10 | 0.0268 | 0.8926 | |
| 11 | 0.0215 | 0.9141 | |
| 12 | 0.0172 | 0.9313 | |
| 13 | 0.0137 | 0.9450 | |
| 14 | 0.0110 | 0.9560 | |
| 15 | 0.0088 | 0.9648 | |
| 16 | 0.0070 | 0.9719 | |
| 17 | 0.0056 | 0.9775 | |
| 18 | 0.0045 | 0.9820 | |
| 19 | 0.0036 | 0.9856 | |
| 20 | 0.0029 | 0.9885 | |
| 21 | 0.0023 | 0.9908 | |
| 22 | 0.0018 | 0.9926 | |
| 23 | 0.0015 | 0.9941 | |
| 24 | 0.0012 | 0.9953 | |
| 25 | 0.0009 | 0.9962 | |
| 26 | 0.0008 | 0.9970 | |
| 27 | 0.0006 | 0.9976 | |
| 28 | 0.0005 | 0.9981 | |
| 29 | 0.0004 | 0.9985 | |
| 30 | 0.0003 | 0.9988 | |
| 31 | 0.0002 | 0.9990 |
※ 確率は小数第5位を四捨五入。ごく小さい値は 10 のべき乗で表示。
幾何分布・負の二項分布の計算ガイド：使い方と2つのモードの違い
成功確率が毎回同じ試行を、成功するまでくり返すときの確率を出します。「何回目に初めて成功するか」が幾何分布、「r 回成功するまでに何回失敗するか」が負の二項分布です。
こんなときに使えます
- 当選確率3%のくじを、何回までに当てられるかの見通しを立てたいとき
- 成約率が一定の営業で、3件成約するまでに断られる件数を見積もりたいとき
- 検査で初めて不良品が見つかるのが何個目かを、確率で考えたいとき
使い方
- 「分布」で、幾何分布か負の二項分布かを選びます。
- 「1回の成功確率 p」に、0.03 のように小数で入れます。
- 幾何分布では「回数 k」に何回目かを、負の二項分布では「失敗の回数 k」と「成功の回数 r」を入れます。
計算の例
当選確率3%（p ＝ 0.03）のくじを50回引くとき、50回までに少なくとも1回当たる確率は 1 − (1 − 0.03)50 ＝ 0.7819（78.19%）です。平均すると、初めて当たるのは約33回目です。
負の二項分布で p ＝ 0.2、r ＝ 3、k ＝ 20 にすると、3件成約するまでにちょうど20件断られる確率は0.0213（2.13%）です。
気をつけたいこと
- 幾何分布の k は「何回目か」、負の二項分布の k は「失敗の回数」です。モードを切り替えたら、k の意味も変わります。
- 回数によって当たりやすさが変わるしくみ（一定回数で必ず当たるなど）があるときは、この計算は当てはまりません。
よくある質問
幾何分布とは？
成功確率 p の試行をくり返すとき、初めて成功するのが何回目かの分布です。k 回目に初めて成功する確率は (1 − p)k−1 × p。サイコロで3回目に初めて6が出る確率は (5/6)2 × 1/6 ≒ 0.1157 です。
幾何分布の平均は？
1/p 回です（分散は (1 − p)/p2）。成功確率が 1/6 なら、平均6回目に初めて成功します。
負の二項分布とは？
r 回成功するまでに何回失敗するかの分布です。失敗が k 回の確率は k+r−1Ck pr(1 − p)k。r ＝ 1 のときが幾何分布（失敗の回数で数えた形）です。
Excel では？
=NEGBINOM.DIST(失敗数, 成功数, p, FALSE) です。ヘルプの例（失敗10・成功5・p ＝ 0.25）は 0.0550、累積で 0.3135 で、このページと同じです。幾何分布は成功数を1にします。
「k 回目までに成功する」確率は？
1 − (1 − p)k です。p ＝ 0.2 なら、3回目までに成功する確率は 1 − 0.83 ＝ 0.488 です。
出典
- Microsoft サポート
- NEGBINOM.DIST 関数（負の二項分布・使用例）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）
本ツールの確率やパーセント点は数値計算で求め、表示した桁で四捨五入しています。検定や論文に使うときは、統計ソフトや数表の値でもご確認ください。
要点
- 幾何分布
(1 − p)^(k−1) × p - 平均
1/p - k 回目までに成功
1 − (1 − p)^k - Excel
NEGBINOM.DIST