相関係数・回帰直線の計算:散布図と予測値つき
x と y のデータを入れると、相関係数 r と回帰直線 y = bx + a(最小二乗法)、決定係数を出します。散布図と計算の途中、x から y の予測値まで。
6組のデータの相関係数 r
0.9954
回帰直線 y = 4.3714x + 47.2(最小二乗法)
相関の強さの目安:強い正の相関
決定係数 R2 ≒ 0.9909・共分散 12.75
Excel: 相関係数 =CORREL(xの範囲, yの範囲)、傾き =SLOPE(yの範囲, xの範囲)、切片 =INTERCEPT(yの範囲, xの範囲)
相関係数 r = 0.9954、回帰直線 y = 4.3714x + 47.2散布図と回帰直線
点が入れたデータ、点線が回帰直線。
計算の途中
| 項目 | 計算 |
|---|---|
| 平均 | x の平均 = 3.5、y の平均 = 62.5 |
| 偏差の2乗の和 | Sxx = (x − x の平均)2 の合計 = 17.5、Syy = 337.5 |
| 偏差の積の和 | Sxy = (x − x の平均) × (y − y の平均) の合計 = 76.5 |
| 相関係数 | r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) ≒ 0.9954 |
| 傾き | b = Sxy ÷ Sxx ≒ 4.3714 |
| 切片 | a = y の平均 − b × x の平均 = 47.2 |
割り切れない値は小数第5位を四捨五入(≒)。答えは四捨五入する前の値で計算しています。
相関係数・回帰直線の計算ガイド:使い方と予測値の見方
2つのデータの組を入れると、相関係数と回帰直線を出して散布図を描きます。「予測したい x」を入れれば、回帰直線から y の値を見積もれます。
こんなときに使えます
- 高校の数学Ⅰのデータの分析で、相関係数の計算を確かめたいとき
- 気温と売上のように、2つの量の関係を数値で確かめたいとき
- これまでの記録から、次の値のおよその目安を出したいとき
使い方
- 「x のデータ」と「y のデータ」に、組になる数字を同じ順番で入れます。
- x と y のデータの個数はそろえます。片方だけ多いと計算しません。
- 予測もしたいときは、「予測したい x」に数を入れます。
計算の例
最高気温(℃)20, 22, 25, 27, 30 と、その日の来店者数 120, 135, 160, 172, 190 を入れると、相関係数は0.9971で、強い正の相関です。
回帰直線は y = 7.0764x − 20.0955。気温28℃の日の来店者数は、約178人と見積もれます。
気をつけたいこと
- 予測は、入れたデータの範囲に近い x で使います。データから大きく外れた x では、現実に合わない値になることがあります。
- データの数が少ないと、たまたま相関係数が大きく出ることがあります。できるだけ多くの組で確かめます。
よくある質問
相関係数とは何ですか。
2つの量の直線的な関係の強さを −1 から 1 の数で表したものです。1 に近いほど「一方が大きいと他方も大きい」(正の相関)、−1 に近いほど「一方が大きいと他方は小さい」(負の相関)、0 に近いと直線的な関係がほとんどありません。高校の数学Ⅰで学びます。
相関係数の求め方は?
r = 共分散 ÷(x の標準偏差 × y の標準偏差)。偏差の積の和 Sxy と偏差の2乗の和 Sxx・Syy を使うと r = Sxy ÷ √(Sxx × Syy) です。下の「計算の途中」で、入れたデータの値を確かめられます。
回帰直線とは何ですか。
散布図の点に、いちばん近くなるように引いた直線です(最小二乗法: 点と直線の縦のずれの2乗の合計が最小)。傾き b = Sxy ÷ Sxx、切片 a = y の平均 − b × x の平均。x の値から y を予測するのに使います。
相関の強さの目安は?
|r| が0.7以上で「強い相関」、0.4〜0.7で「中くらい」、0.2〜0.4で「弱い」、0.2未満で「ほとんどない」とすることが多いですが、決まった基準はありません。分野やデータの数によって見方が変わります。
相関があれば原因と結果の関係がありますか。
そうとは限りません。相関係数は直線的な関係の強さを表すだけで、どちらが原因かや、ほかの要因(気温など)が両方に影響しているかはわかりません。
出典
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方(分数のまま・帯分数・根号の形など)は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 相関係数
−1〜1(直線的な関係の強さ) - 回帰直線
傾き Sxy ÷ Sxx - 決定係数
r の2乗 - 習う学年
高校 数学Ⅰ(相関係数)