順列・組合せの計算（nPr・nCr・階乗）：何通りかと式

Q: 順列と組合せのちがいは？

順列 は選んだものを 並べる（順番を区別する） 数、 組合せ は 選ぶだけ（順番を区別しない） 数です。5人から委員長・副委員長・書記を選ぶのは順列で 5 P 3 ＝ 60通り、5人から委員を3人選ぶのは組合せで 5 C 3 ＝ 10通りです。

Q: nPr と nCr の計算式は？

n P r ＝ n × (n−1) × … × (n−r＋1) ＝ n! ÷ (n−r)!、 n C r ＝ n P r ÷ r! ＝ n! ÷ {r! × (n−r)!}。組合せは、順列を「選んだ r 個の並べ方」の r! 通りで割ったものです。

Q: 0! はなぜ1ですか。

n P n ＝ n! ÷ 0! や n C 0 ＝ 1 などの式がそのまま成り立つように、 0! ＝ 1 と決めています 。

Q: 重複組合せ（nHr）とは？

同じものを何回選んでもよい ときの組合せの数で、 n H r ＝ n＋r−1 C r 。3種類の果物から5個買う方法は 3 H 5 ＝ 7 C 5 ＝ 21通り。重複順列は、同じものを何回選んでもよい並べ方で n r 通りです。

Q: 1〜43から6個の数字を選ぶ組合せは何通り？

43 C 6 ＝ 6,096,454通り です。6個すべてが当たる確率は、その1通りなので約610万分の1になります。

出典を再確認：2026年10月15日高等学校学習指導要領解説数学編（数学A 場合の数と確率）

n と r を入れると、組合せ _nC_r・順列 _nP_r・階乗 n! を、計算式つきで出します。重複順列・重複組合せも。大きな数も全部の桁を正確に計算します。

数値を入れる

n（全部の数）: 個
r（選ぶ数）: 個
大きく出す答え

はじめての方へ：使い方と計算のしかた

5個から3個を選ぶ組合せ

10通り

組合せ ₅C₃ ＝ ₅P₃ ÷ 3! ＝ 60 ÷ 6 ＝ 10通り

順列 ₅P₃ ＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60通り

階乗 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120

重複順列 5³ ＝ 125通り・重複組合せ ₅H₃ ＝ ₇C₃ ＝ 35通り

5C3 = 10通り

順列・組合せの公式

名前	式	例（n＝5、r＝3）
順列	_nP_r ＝ n! ÷ (n−r)!	60通り
組合せ	_nC_r ＝ n! ÷ {r!(n−r)!}	10通り
階乗	n! ＝ n × (n−1) × … × 1	5! ＝ 120
重複順列	n^r	125通り
重複組合せ	_nH_r ＝ _n＋r−1C_r	35通り

5人から委員長・副委員長・書記を選ぶ（順番がある）＝順列 60通り。5人から委員を3人選ぶ（順番がない）＝組合せ 10通り。

階乗の表（0!〜20!）

n!	値
0!	1
1!	1
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120
6!	720
7!	5,040
8!	40,320
9!	362,880
10!	3,628,800
11!	39,916,800
12!	479,001,600
13!	6,227,020,800
14!	87,178,291,200
15!	1,307,674,368,000
16!	20,922,789,888,000
17!	355,687,428,096,000
18!	6,402,373,705,728,000
19!	121,645,100,408,832,000
20!	2,432,902,008,176,640,000

※ 0! ＝ 1 と決めます。21! から先は計算機に入れてください（1000! まで全部の桁を計算します）。

素因数分解分数の計算・約分数学の計算（一覧）最大公約数・最小公倍数四捨五入・切り上げ・切り捨てルート（平方根）二項分布の確率関数電卓三角関数（sin・cos・tan）

順列・組合せの計算ガイド：使い方と順番があるかの見分け方

n と r を入れると、順列・組合せ・階乗などを一度に出します。順列と組合せのどちらを使うかは、問題文が「選んだものの順番」を区別しているかどうかで決まります。

こんなときに使えます

高校の数学Aの場合の数の問題で、答えを確かめたいとき
試合の組み合わせや、係の決め方が何通りあるか知りたいとき
電卓では桁があふれる大きな階乗を、全部の桁まで知りたいとき

使い方

「n（全部の数）」に選ぶもとになる数を、「r（選ぶ数）」に選ぶ数を入れます。
「大きく出す答え」で、組合せ・順列・階乗・重複順列・重複組合せのどれかを選びます。
選ばなかった数え方の答えも下に並ぶので、見比べて問題に合うものを使います。

計算の例

8人の中から部長と副部長を1人ずつ選ぶのは、役の区別があるので順列で、₈P₂ ＝ 8 × 7 ＝ 56通りです。

同じ8人から代表を2人選ぶだけなら、組合せで28通り。8人を一列に並べる並べ方は、8! ＝ 40,320通りです。

気をつけたいこと

同じものを何回選んでもよいときは、重複順列・重複組合せの答えを使います。
人を円形に並べる問題は、回すと同じになる並び方があるので、円順列・じゅず順列のページで計算します。

よくある質問

順列と組合せのちがいは？

順列は選んだものを並べる（順番を区別する）数、組合せは選ぶだけ（順番を区別しない）数です。5人から委員長・副委員長・書記を選ぶのは順列で ₅P₃ ＝ 60通り、5人から委員を3人選ぶのは組合せで ₅C₃ ＝ 10通りです。

nPr と nCr の計算式は？

_nP_r ＝ n × (n−1) × … × (n−r＋1) ＝ n! ÷ (n−r)!、_nC_r ＝ _nP_r ÷ r! ＝ n! ÷ {r! × (n−r)!}。組合せは、順列を「選んだ r 個の並べ方」の r! 通りで割ったものです。

0! はなぜ1ですか。

_nP_n ＝ n! ÷ 0! や _nC₀ ＝ 1 などの式がそのまま成り立つように、0! ＝ 1 と決めています。

重複組合せ（nHr）とは？

同じものを何回選んでもよいときの組合せの数で、_nH_r ＝ _n＋r−1C_r。3種類の果物から5個買う方法は ₃H₅ ＝ ₇C₅ ＝ 21通り。重複順列は、同じものを何回選んでもよい並べ方で n^r 通りです。

1〜43から6個の数字を選ぶ組合せは何通り？

₄₃C₆ ＝ 6,096,454通りです。6個すべてが当たる確率は、その1通りなので約610万分の1になります。

出典

準拠：高等学校学習指導要領（平成30年告示）出典を再確認：2026年10月15日

文部科学省: 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編（数学A 場合の数と確率・ユークリッドの互除法）

本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。

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