指数分布の計算：確率 P(X ≤ x)・確率密度・平均・パーセント点
λ（単位時間あたりに平均何回起こるか）と x を入れると、指数分布の確率を式つきで出します。待ち時間や故障までの時間の分布。逆に確率から x（パーセント点）も。Excel の EXPON.DIST と同じ値です。
指数分布：P(X ≤ 0.2)
0.86466
P(X ≤ 0.2) ＝ 0.86466（86.47%）・P(X ＞ 0.2) ＝ 0.13534
確率密度 f(0.2) ＝ 1.35335
平均 0.1・分散 0.01・標準偏差 0.1・中央値 0.06931
Excel: =EXPON.DIST(0.2, 10, TRUE) → 0.864664717
f(x) ＝ λe−λx F(x) ＝ 1 − e−λx
指数分布 P(X ≤ 0.2) ＝ 0.86466グラフ（確率密度と P(X ≤ x) の面積）
代表的なパーセント点
| 下側確率 | 上側確率 | x |
|---|---|---|
| 50% | 50% | 0.06931 |
| 90% | 10% | 0.23026 |
| 95% | 5% | 0.29957 |
| 97.5% | 2.5% | 0.36889 |
| 99% | 1% | 0.46052 |
※ 上で入れたパラメーターでの値。P(X ≤ x) がその確率になる x です。
指数分布の計算ガイド：使い方と待ち時間の確率の読み方
「次の客が来るまで」「次の故障まで」のように、出来事と出来事のあいだの時間を確率で見積もるときに使います。単位時間あたりの平均回数 λ さえわかれば計算できます。
こんなときに使えます
- 窓口やコールセンターで、次の来客・着信までに何分あくかを見積もりたいとき
- 平均の故障間隔から、ある時間内に故障が起こる確率を出したいとき
- 「90%の確率でこの時間までに次が来る」という目安の時間を逆に求めたいとき
使い方
- 「λ（単位時間あたりの平均回数）」に、1時間や1日など決めた単位あたりの平均回数を入れます。
- 「計算」で「x から確率」を選び、「x」に同じ単位の時間を入れます。
- 時間を知りたいときは「確率から x（パーセント点）」に切り替え、「確率（下側）」に0.9などを入れます。
計算の例
1時間に平均2人来る窓口で、次の人が30分（0.5時間）以内に来る確率は、λ ＝ 2、x ＝ 0.5 で0.63212（約63.21%）です。30分たっても来ない確率は0.36788です。
「確率から x」で0.9を入れると x ＝ 1.15129時間。90%の確率で、約69分以内に次の人が来る計算です。
気をつけたいこと
- λ と x の時間の単位はそろえます。λ が1時間あたりなら、30分は0.5と入れます。
- 昼どきだけ混むなど、時間帯で平均回数が変わるときは、時間帯ごとに λ を分けて計算したほうが実態に近くなります。
よくある質問
指数分布とは？
出来事が単位時間あたり平均 λ 回起こるとき、次に起こるまでの時間の分布です。Excel のヘルプでは、ATM から現金が出てくるまでの時間など、イベントの間隔のモデルに使うと説明されています。
指数分布の式は？
確率密度 f(x) ＝ λe−λx、累積分布 F(x) ＝ P(X ≤ x) ＝ 1 − e−λx（x ≥ 0）。λ ＝ 10、x ＝ 0.2 なら 1 − e−2 ≒ 0.86466（Excel の =EXPON.DIST(0.2, 10, TRUE) と同じ）。
平均と分散は？
平均は 1/λ、分散は 1/λ2、標準偏差も 1/λ です。1時間に平均2回なら、平均の待ち時間は0.5時間です。
無記憶性とは？
すでに s だけ待ったとき、さらに t 以上待つ確率は、最初から t 以上待つ確率と同じです（P(X ＞ s ＋ t | X ＞ s) ＝ P(X ＞ t) ＝ e−λt）。これを無記憶性といい、指数分布の特徴です。
ポアソン分布との関係は？
1時間に起こる回数がポアソン分布（平均 λ）に従うとき、出来事と出来事の間の時間は平均 1/λ の指数分布に従います。
出典
- Microsoft サポート
- EXPON.DIST 関数（書式・使用例）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）
本ツールの確率やパーセント点は数値計算で求め、表示した桁で四捨五入しています。検定や論文に使うときは、統計ソフトや数表の値でもご確認ください。
要点
- P(X ≤ x)
1 − e^(−λx) - 平均
1/λ - 分散
1/λ² - Excel
EXPON.DIST