等比数列の和の計算：一般項と和 Sn（公比が分数でも正確に）
初項・公比・項数を入れると、等比数列の和 Sn と第 n 項を、公式に数を入れた式つきで出します。公比が 1/2 などの分数でも分数のまま正確に。無限等比級数の和と、最初の20項の表つき。
初項 3・公比 2 の10項までの和
3,069
和 Sn ＝ a(rn − 1) ÷ (r − 1) ＝ 3 × {210 − 1} ÷ {2 − 1} ＝ 3,069
第10項 an ＝ a × rn−1 ＝ 3 × 29 ＝ 1,536
|r| ≥ 1 なので、限りなく足しても和は一定の値に近づきません
等比数列（初項3、公比2）の第10項は1,536、10項までの和は3,069最初の20項と和
| n | 第 n 項 | n 項までの和 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 6 | 9 |
| 3 | 12 | 21 |
| 4 | 24 | 45 |
| 5 | 48 | 93 |
| 6 | 96 | 189 |
| 7 | 192 | 381 |
| 8 | 384 | 765 |
| 9 | 768 | 1,533 |
| 10 | 1,536 | 3,069 |
項数が20より多いときは、最後の項と和も表の下に出します。
等比数列の和の計算ガイド：使い方と公比の入れ方
初項・公比・項数を入れると、等比数列の和と第 n 項を出します。公比が 1/2 のような分数でも、答えを分数のまま正確に出します。
こんなときに使えます
- 高校の数学Bで、等比数列の和や一般項の答えを確かめたいとき
- 「毎日2倍にふえる」ような話で、何日目にいくつになるかを知りたいとき
- 公比の絶対値が1より小さいときの、無限等比級数の和を求めたいとき
使い方
- 「初項 a」に最初の数を、「公比 r」にとなりの項の比を入れます。
- 「項数 n」に、何項目まで足すかを入れます。
- 下の表で、最初の20項と、そこまでの和を順に確かめます。
計算の例
1円から始めて、毎日前の日の2倍をもらうと、20日目にもらう額は524,288円、20日間の合計は1,048,575円です（初項1・公比2・項数20）。
初項1・公比1/2で6項まで足すと63/32。項を限りなく足していくと、和は2に近づきます。
気をつけたいこと
- 公比は「後の項 ÷ 前の項」です。3, 6, 12 … なら 2、8, 4, 2 … なら 1/2 と入れます。
- 公比がマイナスのときは、マイナスをつけて入れます。項の符号が1つおきに変わります。
よくある質問
等比数列の和の公式は？
初項 a、公比 r、項数 n のとき、r ≠ 1 なら Sn ＝ a(rn − 1) ÷ (r − 1)（r ＜ 1 なら a(1 − rn) ÷ (1 − r) と書くことが多い）。r ＝ 1 なら Sn ＝ na です。
一般項（第 n 項）は？
an ＝ a × rn−1。初項 3・公比 2 なら、第10項は 3 × 29 ＝ 1,536 です。
公式はどうして成り立つのですか。
S ＝ a ＋ ar ＋ … ＋ arn−1 と、両辺に r をかけた rS ＝ ar ＋ ar2 ＋ … ＋ arn の差をとると、間の項が消えて rS − S ＝ arn − a になるからです。
無限等比級数の和とは？
公比の絶対値が1より小さい（−1 ＜ r ＜ 1）とき、項を限りなく足すと和は a ÷ (1 − r) に近づきます。1 ＋ 1/2 ＋ 1/4 ＋ … ＝ 2。高校の数学Ⅲで学びます。
何年生で習いますか。
等差数列・等比数列は高校の数学B（数列）、無限等比級数は数学Ⅲです（文部科学省 学習指導要領解説）。
出典
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 和（r ≠ 1）
a(rn − 1) ÷ (r − 1) - 和（r ＝ 1）
na - 第 n 項
a × rn−1 - 無限の和（|r| ＜ 1）
a ÷ (1 − r)