三角形の面積の計算：底辺と高さ・3辺（ヘロンの公式）・2辺と角・正三角形・二等辺三角形
底辺と高さ、3辺の長さ（ヘロンの公式）、2辺とその間の角のどれからでも三角形の面積を出します。正三角形は1辺だけ、二等辺三角形は底辺と等しい辺から。√ のまま正確な値、角度、鋭角・直角・鈍角の判定も。入れた数どおりの図つき。
三角形の面積（底辺と高さ）
12
面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2 ＝ 6 × 4 ÷ 2 ＝ 12cm2
底辺と高さが同じなら、どんな形の三角形でも面積は同じです（高さは、底辺に垂直な長さ）
三角形の面積 = 12cm²図（入れた数のとおりに描きます）
三角形の面積の求め方（公式の一覧）
| わかっているもの | 公式 |
|---|---|
| 底辺と高さ | 面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2（小学5年） |
| 3辺 a・b・c | s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 として、面積 ＝ √{s(s − a)(s − b)(s − c)}（ヘロンの公式） |
| 2辺 a・b と間の角 C | 面積 ＝ 1/2 × a × b × sin C（高校 数学Ⅰ） |
| 正三角形の1辺 a | 面積 ＝ √3/4 × a2（高さ ＝ √3/2 × a） |
| 二等辺三角形の底辺 a・等しい辺 b | 高さ ＝ √{b2 − (a/2)2}、面積 ＝ a × 高さ ÷ 2 |
高さは、底辺に垂直な長さです。鈍角三角形では、高さが三角形の外にはみ出すことがあります（図の点線）。
三角形の面積の計算ガイド：使い方と求め方の選び方
底辺と高さ、3辺、2辺と間の角など、わかっているものに合わせて三角形の面積を出します。高さがわからなくても、3辺を測ればヘロンの公式で計算できます。
こんなときに使えます
- 小学5年の三角形の面積から、高校の三角比を使う問題まで、答え合わせをしたいとき
- 三角形の花だんや土地の広さを、3辺を巻き尺で測って出したいとき
- 正三角形や二等辺三角形の高さを、三平方の定理で確かめたいとき
使い方
- 「わかっているもの」で、底辺と高さ・3辺・2辺とその間の角・正三角形・二等辺三角形のどれかを選びます。
- 選んだものに合わせて欄の名前が変わるので、その名前どおりに長さや角度を入れます。
- 面積のほか、角の大きさや、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれにあたるかも確かめられます。
計算の例
3辺が4m・5m・6mの三角形の花だんは、ヘロンの公式で面積が15√7/4m2、およそ9.9216m2です。角度を測らなくても、3辺だけで出せます。
底辺8cm・等しい辺5cmの二等辺三角形は、三平方の定理で高さが3cmになり、面積は 8 × 3 ÷ 2 ＝ 12cm2です。
気をつけたいこと
- 土地や花だんを測るときは、3辺を同じ単位にそろえてから入れます。
- 「2辺とその間の角」の角は、入れた2辺にはさまれた角です。ほかの角しかわからないときは、余弦定理・正弦定理のページで先に辺や角を出します。
よくある質問
三角形の面積の公式は？
底辺 × 高さ ÷ 2。三角形は、同じ三角形を2つ合わせた平行四辺形の半分だからです。小学5年で学びます。
ヘロンの公式とは？
3辺の長さ a、b、c だけで面積を出す公式です。s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 として、面積 ＝ √{s(s − a)(s − b)(s − c)}。辺が 5・6・7 なら s ＝ 9、面積 ＝ √(9 × 4 × 3 × 2) ＝ √216 ＝ 6√6 です。
2辺と角度から面積を出すには？
面積 ＝ 1/2 × a × b × sin C（C は a と b の間の角）。a ＝ 4、b ＝ 5、C ＝ 60° なら 1/2 × 4 × 5 × √3/2 ＝ 5√3 です。
3辺の長さでも三角形ができないことがありますか。
あります。いちばん長い辺は、ほかの2辺の和より短くなければ三角形になりません（1・2・3 は一直線になってしまう）。
高さがわからないときは？
3辺がわかればヘロンの公式で面積が出せ、高さは「面積 × 2 ÷ 底辺」で逆算できます。この計算機は3辺を入れると、辺 a を底辺にしたときの高さも出します。
正三角形の面積の公式は？
面積 ＝ √3/4 × (1辺)2です。正三角形を半分に切ると、辺の比が 1：2：√3 の直角三角形になるので、高さは 1辺 × √3/2。1辺 6cm なら、面積 ＝ √3/4 × 36 ＝ 9√3 ≒ 15.59cm2 です。
二等辺三角形の面積は？
頂点から底辺に垂直に下ろした線が底辺をちょうど半分に分けるので、高さ ＝ √{(等しい辺)2 − (底辺 ÷ 2)2}（三平方の定理）。底辺 6cm・等しい辺 5cm なら、高さ ＝ √(25 − 9) ＝ 4cm、面積 ＝ 6 × 4 ÷ 2 ＝ 12cm2 です。
出典
- 文部科学省
- 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（第5学年 三角形・平行四辺形・ひし形・台形の面積と円周率（3.14 を用いる）、第6学年 円の面積・角柱及び円柱の体積）
- 文部科学省
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編（第1学年 扇形の弧の長さと面積、柱体・錐体・球の表面積と体積、第3学年 三平方の定理）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ 図形と計量：三角比、正弦定理・余弦定理）
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 底辺と高さ
底辺 × 高さ ÷ 2 - 3辺
ヘロンの公式 - 2辺と間の角
1/2 × a × b × sin C - 正三角形
√3/4 × (1辺)2 - 習う学年
小学5年（sin は高校）