ベータ分布の計算：確率 P(X ≤ x)・確率密度・平均・パーセント点
α・β と区間 [A, B]、x を入れると、ベータ分布の確率を出します。0〜1 の割合のばらつきに。区間は省略すると 0〜1。確率からパーセント点も。Excel の BETA.DIST と同じ値です。
ベータ分布：P(X ≤ 2)
0.68547
P(X ≤ 2) ＝ 0.68547（68.55%）・P(X ＞ 2) ＝ 0.31453
確率密度 f(2) ＝ 1.48376
平均 1.88889・分散 0.05198・標準偏差 0.228・中央値 1.88468
Excel: =BETA.DIST(2, 8, 10, TRUE, 1, 3) → 0.685470581
f(x) ＝ zα−1(1 − z)β−1 ÷ B(α, β) ÷ (B − A)、z ＝ (x − A) ÷ (B − A)
ベータ分布 P(X ≤ 2) ＝ 0.68547グラフ（確率密度と P(X ≤ x) の面積）
代表的なパーセント点
| 下側確率 | 上側確率 | x |
|---|---|---|
| 50% | 50% | 1.88468 |
| 90% | 10% | 2.18898 |
| 95% | 5% | 2.27198 |
| 97.5% | 2.5% | 2.34151 |
| 99% | 1% | 2.41877 |
※ 上で入れたパラメーターでの値。P(X ≤ x) がその確率になる x です。
ベータ分布の計算ガイド：使い方と区間 A〜B の決め方
0〜1 の割合や、下限と上限が決まっている量のばらつきを扱う計算機です。α と β の組み合わせで、左寄り・右寄り・左右対称と形が変わります。
こんなときに使えます
- 達成率や正答率など、0〜1 の割合が人や日によってどうばらつくかを考えたいとき
- 最小値と最大値がはっきり決まっている量を、区間を指定して扱いたいとき
- Excel の BETA.DIST の結果を、グラフつきで確かめたいとき
使い方
- 「α」と「β」に形のパラメーターを入れます。
- 割合を扱うなら「下限 A」は0、「上限 B」は1のままにします。別の範囲なら、その下限と上限を入れます。
- 「x」に A〜B の範囲の値を入れると、P(X ≤ x) が出ます。「確率から x」で逆も求められます。
計算の例
α ＝ 2、β ＝ 5、区間0〜1 は、平均0.28571（約28.57%）の左寄りの分布です。割合が0.2（20%）以下になる確率は0.34464、それより上になる確率は0.65536です。
「確率から x」で0.9を入れると x ＝ 0.51032。9割のケースは、割合がこの値までにおさまる計算です。
気をつけたいこと
- 割合は小数で入れます。30%なら0.3です。
- x が A〜B の外にあると計算できません。区間を変えたときは x も合わせて直してください。
よくある質問
ベータ分布とは？
決まった区間（ふつうは0〜1）の値をとる分布で、割合のばらつきを表すのに使います。Excel のヘルプでは、1日のうちテレビを見る時間の割合が人によってどう違うか、などの例が挙がっています。
α と β で形はどう変わる？
α ＝ β なら左右対称、α ＞ β なら右寄り、α ＜ β なら左寄りです。α ＝ β ＝ 1 なら一様分布になります。平均は A ＋ (B − A) × α ÷ (α ＋ β)。
例の値は？
x ＝ 2、α ＝ 8、β ＝ 10、区間 1〜3 なら、P(X ≤ x) ≒ 0.68547、確率密度 ≒ 1.48376 です（Excel の BETA.DIST の使用例と同じ）。
ベータ関数とは？
B(α, β) ＝ Γ(α)Γ(β) ÷ Γ(α ＋ β) で、確率密度のグラフと x 軸で囲まれた部分の面積（全体の確率）を1にするための数です。
出典
- Microsoft サポート
- BETA.DIST 関数（書式・使用例）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）
本ツールの確率やパーセント点は数値計算で求め、表示した桁で四捨五入しています。検定や論文に使うときは、統計ソフトや数表の値でもご確認ください。
要点
- 区間
A〜B（省略すると0〜1） - 平均
A ＋ (B−A)α/(α＋β) - α ＝ β ＝ 1
一様分布 - Excel
BETA.DIST