最大公約数・最小公倍数の計算：3つの数も、求め方つき
2つか3つの整数を入れると、最大公約数と最小公倍数、公約数の一覧を出します。求め方は「素因数分解」と「ユークリッドの互除法」の2通りで途中式つき。
12と18の最大公約数・最小公倍数
最大公約数 6・最小公倍数 36
公約数は 1、2、3、6（最大公約数 6 の約数）
最小公倍数 ＝ 12 × 18 ÷ 6 ＝ 36
公倍数は 36、72、108、…（最小公倍数の倍数）
12と18の最大公約数は6、最小公倍数は36素因数分解で求める
| 数 | 素因数分解 |
|---|---|
| 12 | 22 × 3 |
| 18 | 2 × 32 |
| 最大公約数 | 共通の素因数を、小さいほうの指数で：2 × 3 ＝ 6 |
| 最小公倍数 | 出てくる素因数を全部、大きいほうの指数で：22 × 32 ＝ 36 |
ユークリッドの互除法で求める
| 回 | 割り算 |
|---|---|
| 1 | 18 ÷ 12 ＝ 1 余り 6 |
| 2 | 12 ÷ 6 ＝ 2 余り 0 → 割り切れたので 6 |
大きいほうを小さいほうで割り、次は割った数を余りで割る。割り切れたときの割る数が最大公約数。3つの数では、2つの最大公約数と3つ目の数で同じことをします。
書き出して求める（小学5年のやり方）
8の約数は 1・2・4・8、12の約数は 1・2・3・4・6・12。共通な 1・2・4 が公約数で、最大公約数は 4。
8の倍数は 8・16・24・32・40・48…、12の倍数は 12・24・36・48…。共通な 24・48・72… が公倍数で、最小公倍数は 24。
数が大きいときは、素因数分解か互除法のほうが早く求められます。
最大公約数・最小公倍数の計算ガイド：使い方とどちらを使うかの見分け方
2つか3つの整数から、最大公約数と最小公倍数を出します。文章題では「余りなく同じ大きさに分ける」なら最大公約数、「次にそろう」なら最小公倍数と考えると、どちらを使うか見分けやすくなります。
こんなときに使えます
- 小学5年の約数・倍数や、分数の約分・通分の練習で、答え合わせをしたいとき
- 「同じ長さに切り分ける」「同時に出発して次にそろう」といった文章題を解くとき
- 大きな数の最大公約数を、互除法の途中式で確かめたいとき
使い方
- 「1つ目の数」「2つ目の数」に整数を入れます。
- 3つの数のときは「3つ目の数」にも入れます。空欄のままなら、2つの数で計算します。
- 素因数分解と互除法の表で、求め方の途中を見比べます。
計算の例
24cm・36cm・60cmのリボンを、余りが出ないように全部同じ長さに切るなら、いちばん長くて12cmです。これが3つの数の最大公約数です。
24分・36分・60分おきに出るバスが同時に出たあと、次に3台がそろうのは360分後（6時間後）。こちらは最小公倍数です。
気をつけたいこと
- 入れられるのは1以上の整数です。0や小数を入れると計算しません。
- 文章題では、問題が何を聞いているかを最後に確かめます。上のリボンの例で「何本できるか」を聞かれたら、答えは12cmではなく10本です。
よくある質問
最大公約数と最小公倍数とは何ですか。
公約数は2つ以上の数に共通な約数で、その中でいちばん大きいのが最大公約数です。公倍数は共通な倍数で、その中でいちばん小さいのが最小公倍数です。8と12なら、公約数は1・2・4で最大公約数は4、公倍数は24・48・72…で最小公倍数は24です。
素因数分解を使った求め方は？
それぞれの数を素因数分解し、最大公約数は共通の素因数を小さいほうの指数で、最小公倍数は出てくる素因数を全部、大きいほうの指数でかけます。12 ＝ 22 × 3、18 ＝ 2 × 32 なら、最大公約数 ＝ 2 × 3 ＝ 6、最小公倍数 ＝ 22 × 32 ＝ 36。
ユークリッドの互除法とは何ですか。
大きいほうの数を小さいほうの数で割り、次は「割った数」を「余り」で割る、をくり返して、割り切れたときの割る数が最大公約数になる方法です。大きな数でも素因数分解せずに求められます。高校の数学Aで学びます。
2つの数の最小公倍数を早く出す方法は？
2つの数の積 ÷ 最大公約数です。12 × 18 ÷ 6 ＝ 36。2つの数の積は、最大公約数 × 最小公倍数と等しくなります（3つの数では成り立ちません）。
何年生で習いますか。
約数・倍数、最大公約数・最小公倍数は小学5年、素因数分解は中学1年、ユークリッドの互除法は高校の数学Aです（文部科学省 学習指導要領解説）。
出典
- 文部科学省
- 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編（第4学年 概数と四捨五入、第5学年 約数・倍数と約分・通分、第6学年 分数の乗法・除法）
- 文部科学省
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編（第1学年 素因数分解、第3学年 平方根）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編（数学A 場合の数と確率・ユークリッドの互除法）
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 最大公約数
共通の素因数を小さいほうの指数で - 最小公倍数
素因数を全部、大きいほうの指数で - 2つの数なら
最小公倍数 ＝ 積 ÷ 最大公約数 - 習う学年
小学5年（互除法は高校）