ガンマ分布の計算：確率 P(X ≤ x)・確率密度・平均・パーセント点
形 α と尺度 β、x を入れると、ガンマ分布の確率を出します。α ＝ 1 なら指数分布、α が整数ならアーラン分布。確率からパーセント点も。Excel の GAMMA.DIST と同じ値です。
ガンマ分布：P(X ≤ 10)
0.06809
P(X ≤ 10) ＝ 0.06809（6.81%）・P(X ＞ 10) ＝ 0.93191
確率密度 f(10) ＝ 0.03264
平均 18・分散 36・標準偏差 6・中央値 17.3379
Excel: =GAMMA.DIST(10.00001131, 9, 2, TRUE) → 0.0680940039
f(x) ＝ xα−1e−x/β ÷ (Γ(α)βα)
ガンマ分布 P(X ≤ 10) ＝ 0.06809グラフ（確率密度と P(X ≤ x) の面積）
代表的なパーセント点
| 下側確率 | 上側確率 | x |
|---|---|---|
| 50% | 50% | 17.3379 |
| 90% | 10% | 25.9894 |
| 95% | 5% | 28.8693 |
| 97.5% | 2.5% | 31.5264 |
| 99% | 1% | 34.8053 |
※ 上で入れたパラメーターでの値。P(X ≤ x) がその確率になる x です。
ガンマ分布の計算ガイド：使い方と α・β の入れ方
指数分布が「次の1回まで」の時間なら、ガンマ分布は「α 回目が起こるまで」の時間にも使えます。右にすそを引いた、正の値だけのデータを扱うときの計算機です。
こんなときに使えます
- 平均10分おきに来る客の、3人目が来るまでの時間を確率で見たいとき
- 待ち行列や処理時間など、正の値で右にすそを引くデータを分析するとき
- Excel の GAMMA.DIST や GAMMA.INV の結果を、式つきで確かめたいとき
使い方
- 「α（形）」に形のパラメーター、「β（尺度）」に尺度（1回あたりの平均の間隔など）を入れます。
- 「x」に知りたい値を入れると、P(X ≤ x) と確率密度、平均・中央値が出ます。
- 「確率から x（パーセント点）」に切り替えると、下側確率に対応する x を求められます。
計算の例
客がランダムに平均10分おきに来るとき、3人目が来るまでの時間は α ＝ 3、β ＝ 10 のガンマ分布です。30分以内に3人目が来る確率は0.57681（約57.68%）になります。
平均は αβ ＝ 30分ですが、中央値は26.7406分で、平均より少し短めです。右にすそを引く分布では、このずれがよく起こります。
気をつけたいこと
- 教科書によっては「率 λ」で書かれています。1分あたり0.1回なら、β にはその逆数の10を入れます。
- α と β を取り違えると、平均（αβ）は同じでも形がまったく変わります。入れたあとにグラフの形も確かめてください。
よくある質問
ガンマ分布とは？
正の値をとる、右にすそを引いた分布です。Excel のヘルプでは、正規分布に従わない変数の分析や、待ち行列の分析によく使われると説明されています。
α と β の意味は？
このページは Excel と同じで、α が形、β が尺度です。平均は αβ、分散は αβ2。教科書によっては β の代わりに率 λ ＝ 1/β を使うので、そのときは β に 1/λ を入れてください。
ほかの分布との関係は？
α ＝ 1 なら指数分布、α が正の整数ならアーラン分布です。α ＝ n/2、β ＝ 2 なら自由度 n のカイ二乗分布になります（Excel のヘルプ）。
例の値は？
x ＝ 10.00001131、α ＝ 9、β ＝ 2 なら、P(X ≤ x) ≒ 0.068094、確率密度 ≒ 0.032639 です（Excel の GAMMA.DIST の使用例と同じ）。
出典
- Microsoft サポート
- GAMMA.DIST 関数（書式・使用例）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）
本ツールの確率やパーセント点は数値計算で求め、表示した桁で四捨五入しています。検定や論文に使うときは、統計ソフトや数表の値でもご確認ください。
要点
- 平均
αβ - 分散
αβ² - α ＝ 1
指数分布 - Excel
GAMMA.DIST