等差数列の和の計算：一般項と和 Sn（途中式つき）
初項・公差・項数を入れると、等差数列の和 Sn と第 n 項（末項）を、公式に数を入れた式つきで出します。分数・小数・マイナスの公差もそのまま。最初の20項の表つき。
初項 2・公差 3 の10項までの和
155
和 Sn ＝ n{2a ＋ (n − 1)d} ÷ 2 ＝ 10 × {2 × 2 ＋ 9 × 3} ÷ 2 ＝ 155
第10項（末項） an ＝ a ＋ (n − 1)d ＝ 2 ＋ 9 × 3 ＝ 29
（初項 ＋ 末項）× 項数 ÷ 2 でも同じ：{2 ＋ 29} × 10 ÷ 2
等差数列（初項2、公差3）の第10項は29、10項までの和は155最初の20項と和
| n | 第 n 項 | n 項までの和 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 8 | 15 |
| 4 | 11 | 26 |
| 5 | 14 | 40 |
| 6 | 17 | 57 |
| 7 | 20 | 77 |
| 8 | 23 | 100 |
| 9 | 26 | 126 |
| 10 | 29 | 155 |
項数が20より多いときは、最後の項と和も表の下に出します。
等差数列の和の計算ガイド：使い方と項数の数え方
初項・公差・項数を入れると、等差数列の和と末項（最後の数）を出します。一定の数ずつふえる（へる）並びなら、勉強の計画などの合計にも使えます。
こんなときに使えます
- 高校の数学Bで、等差数列の和や一般項を求める問題を見直したいとき
- 毎日決まった数ずつふやしていく計画の、合計を知りたいとき
- 「3から99までの3の倍数の和」のような問題を解くとき
使い方
- 「初項 a」に最初の数を、「公差 d」にとなりどうしの差を入れます。へっていく並びなら、マイナスをつけます。
- 「項数 n」に、いくつ目まで足すかを入れます。
- 和と末項を確かめ、下の表で途中の数も見ます。
計算の例
1日目に5ページ、そこから毎日4ページずつふやして本を読むと、20日目は81ページ、20日間の合計は860ページです。
3から99までの3の倍数の和なら、初項3・公差3・項数33を入れて1,683です。
気をつけたいこと
- 最後の数がわかっていて項数がわからないときは、(最後の数 − 最初の数) ÷ 公差 ＋ 1 で数えます。上の例なら (99 − 3) ÷ 3 ＋ 1 ＝ 33 です。
- 公差は「後の数 − 前の数」です。順番を逆にすると、符号が変わります。
よくある質問
等差数列の和の公式は？
初項 a、公差 d、項数 n のとき Sn ＝ n{2a ＋ (n − 1)d} ÷ 2。末項 l がわかっていれば Sn ＝ n(a ＋ l) ÷ 2（（初項 ＋ 末項）× 項数 ÷ 2）です。
一般項（第 n 項）は？
an ＝ a ＋ (n − 1)d。初項 2・公差 3 なら、第10項は 2 ＋ 9 × 3 ＝ 29 です。
1 から 100 までの和は？
5,050。初項1・公差1・項数100 の等差数列なので、(1 ＋ 100) × 100 ÷ 2 ＝ 5,050。1と100、2と99…のように両端から組にすると、どの組も101になる、という考え方です。
公式はどうして成り立つのですか。
和を前から書いたものと後ろから書いたものを縦に足すと、どの列も（初項 ＋ 末項）になり、それが n 個並ぶので 2S ＝ n(a ＋ l) になるからです。
何年生で習いますか。
高校の数学B（数列）です（文部科学省 学習指導要領解説）。
出典
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 和
n{2a ＋ (n − 1)d} ÷ 2 - 和（末項 l がわかるとき）
n(a ＋ l) ÷ 2 - 第 n 項
a ＋ (n − 1)d - 1〜100 の和
5,050