三角形の内接円・外接円の半径の計算：3辺・正三角形・直角三角形から（図つき）
三角形の3辺の長さから、内接円の半径 rと外接円の半径 Rを出します。r ＝ 面積 ÷ s、R ＝ abc ÷（4 × 面積）。√ のまま正確な値と小数、入れた数どおりの図つき。正三角形・直角三角形もかんたんに。
s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 ＝ 9、面積 S ＝ √{s(s − a)(s − b)(s − c)} ＝ 6√6 ≒ 14.6969cm2
内接円の半径 r ＝ S ÷ s ＝ 2√6/3 ≒ 1.633cm（S ＝ 1/2 × r × (a ＋ b ＋ c) より）
外接円の半径 R ＝ abc ÷ 4S ＝ 35√6/24 ≒ 3.5722cm（正弦定理 a ÷ sin A ＝ 2R より）
鋭角三角形なので、外接円の中心（外心）は三角形の内側にあります
内接円の面積 πr2 ≒ 8.3776cm2・外接円の面積 πR2 ≒ 40.088cm2
3辺5・6・7の三角形：内接円の半径2√6/3、外接円の半径35√6/24図（入れた数のとおりに描きます）
内接円・外接円の半径の公式
| 求めるもの | 公式 |
|---|---|
| 内接円の半径 r | r ＝ S ÷ s（S は面積、s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2）。面積 S ＝ 1/2 × r × (a ＋ b ＋ c) から |
| 外接円の半径 R | R ＝ abc ÷ 4S、または 正弦定理 a ÷ sin A ＝ 2R から R ＝ a ÷ (2 sin A) |
| 直角三角形 | R ＝ 斜辺 ÷ 2、r ＝ (a ＋ b − 斜辺) ÷ 2（a・b は直角をはさむ辺） |
| 正三角形（1辺 a） | r ＝ √3/6 × a、R ＝ √3/3 × a（R は r の2倍） |
内接円の中心（内心 I）は3つの角の二等分線の交点、外接円の中心（外心 O）は3辺の垂直二等分線の交点です（数学A）。
内接円・外接円の半径の計算ガイド：使い方と三角形の選び方
三角形の3辺の長さから、内接円の半径 r と外接円の半径 R を出します。正三角形や直角三角形なら、わかっている辺だけで計算できます。
こんなときに使えます
- 高校の数学Ⅰ・数学Aで、内接円・外接円の半径を求める問題を確かめたいとき
- 正弦定理やヘロンの公式を使った自分の計算が、合っているか見たいとき
- 三角形の板に入る円や、三角形を囲む円の大きさを知りたいとき
使い方
- 「わかっているもの」で、3辺・正三角形（1辺）・直角三角形（2辺）のどれかを選びます。
- 辺の欄に長さを入れます。直角三角形では、直角をはさむ2辺を入れます。
- 「大きく出すもの」で、外接円の半径 R か内接円の半径 r を選びます。もう一方も下に出ます。
計算の例
直角をはさむ辺が6cmと8cmの直角三角形は、内接円の半径が2cm、外接円の半径が5cmです。外接円の半径は、斜辺のちょうど半分になっています。
3辺が7cm・8cm・9cmの三角形なら、内接円の半径は√5（およそ2.2361cm）、外接円の半径は21√5/10（およそ4.6957cm）です。
気をつけたいこと
- 外接円の半径 R は、どんな三角形でも内接円の半径 r の2倍以上になり、ちょうど2倍になるのは正三角形のときだけです。答えの確かめに使えます。
- いちばん長い辺がほかの2辺の和以上だと、三角形になりません。3辺の長さを確かめてから入れます。
よくある質問
内接円の半径の求め方は？
外接円の半径の求め方は？
直角三角形の外接円の半径は？
正三角形の内接円・外接円は？
外心が三角形の外に出るのはどんなとき？
出典
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ 図形と計量：三角比、正弦定理・余弦定理）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編（数学A 場合の数と確率・ユークリッドの互除法）
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 内接円
r ＝ 面積 ÷ s - 外接円
R ＝ abc ÷（4 × 面積） - 直角三角形
R ＝ 斜辺 ÷ 2 - 習う学年
高校（数学Ⅰ・数学A）