二次方程式の計算：解の公式で解く（途中式・判別式・グラフ）
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の a・b・c を入れると、解の公式に代入した途中式と答えを出します。√ を簡単にした正確な形と小数、判別式、因数分解、虚数解（数学Ⅱ）、放物線のグラフも。分数・小数の係数もそのまま入れられます。
a ＝ 2、b ＝ −5、c ＝ 1
判別式 D ＝ b2 − 4ac ＝ (−5)2 − 4 × 2 × 1 ＝ 17。0より大きいので、異なる2つの実数解
解の公式 x ＝ （−(−5) ± √17）／2 × 2 ＝ （5 ± √17）／4
小数では x ≒ 0.2192、2.2808
2つの解の和 ＝ −b/a ＝ 5/2、積 ＝ c/a ＝ 1/2（解と係数の関係・数学Ⅱ）
2x² − 5x ＋ 1 ＝ 0 の解：x = (5 ± √17)/4グラフ（放物線 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c）
※ x 軸と交わる点の x 座標が、方程式の実数解です。交わらなければ実数の解はありません。グラフは形がわかるように、縦と横の目盛りを変えています。
解の公式
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解は x ＝ （−b ± √(b2 − 4ac)）／2a
解の公式の導き方（平方完成）
| 1 | ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の両辺を a でわる：x2 ＋ b／ax ＋ c／a ＝ 0 |
| 2 | c／a を右へ移す：x2 ＋ b／ax ＝ −c／a |
| 3 | x の係数の半分の2乗 (b／2a)2 を両辺に足す：(x ＋ b／2a)2 ＝ （b2 − 4ac）／4a2 |
| 4 | 平方根をとる：x ＋ b／2a ＝ ±（√(b2 − 4ac)）／2a |
| 5 | b／2a を右へ移す：x ＝ （−b ± √(b2 − 4ac)）／2a |
学習指導要領解説では、x2 ＋ 4x − 7 ＝ 0 のように「平方の形に変形して解く」手順と見比べながら、解の公式が導かれる過程を知ることを大切にしています（中学3年）。
判別式 D ＝ b2 − 4ac と解の個数
| D | 解 | グラフと x 軸 |
|---|---|---|
| D ＞ 0 | 異なる2つの実数解 | 2点で交わる |
| D ＝ 0 | 重解（1つ） | 1点で接する |
| D ＜ 0 | 実数解なし（虚数解2つ） | 交わらない |
二次方程式の計算ガイド：使い方と係数の入れ方
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の a・b・c を入れると、解の公式に代入した途中式と答えを出します。因数分解できるときはその形も出るので、解き方を選ぶ手がかりになります。
こんなときに使えます
- 中学3年の二次方程式の宿題で、答えと途中式を確かめたいとき
- 因数分解で解けるか、解の公式を使うべきかを見きわめたいとき
- 高校で、判別式や虚数解の答えを確かめたいとき
使い方
- 方程式を「〜 ＝ 0」の形に整理してから、x2 の係数を「a」に入れます。
- 「b（x の係数）」と「c（数だけの項）」には、符号ごと入れます。x の項がないときは、b に0を入れます。
- 途中式の判別式 D を見ると、異なる2つの実数解をもつか、重解をもつか、実数解をもたないかがわかります。
計算の例
x2 − 2x − 15 ＝ 0 は、a ＝ 1、b ＝ −2、c ＝ −15 と入れます。判別式は64で、解は x ＝ −3、5。(x ＋ 3)(x − 5) ＝ 0 と因数分解もできます。
x2 ＋ 4x ＋ 1 ＝ 0 なら、解は x ＝ −2 ± √3（小数でおよそ−3.7321と−0.2679）です。
気をつけたいこと
- x2 ＝ 2x ＋ 15 のように右辺に項があるときは、移項してから入れます。移した項の符号が変わるのを忘れないようにします。
- 係数は −3・0.5・1/2 のように、マイナス・小数・分数のまま入れられます。分母を払う前の式でも計算できます。
よくある質問
解の公式とは？
解の公式の使い方は？
b が偶数のときの公式は？
判別式とは？
√ の中がマイナスになったら？
出典
- 文部科学省
- 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編（第3学年 二次方程式：解の公式を知り，それを用いて二次方程式を解くこと）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅱ いろいろな式：複素数の四則計算、二次方程式の解の種類の判別及び解と係数の関係）
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 解の公式
x ＝ {−b ± √(b2 − 4ac)} ÷ 2a - 判別式
D ＝ b2 − 4ac - b が偶数
x ＝ {−b′ ± √(b′2 − ac)} ÷ a - 習う学年
中学3年（虚数解は高校 数学Ⅱ）